El Paso apressou-se, segundo a agência de notícias Associated Press (AP), a converter grandes edifícios em abrigos, enquanto a Cruz Vermelha dispões de 10.000.
"Vamos estar preparados para o que vier", disse Leeser.
O estado norte-americano do Texas indicou que estava a enviar 400 membros da Guarda Nacional para a cidade fronteiriça depois de as autoridades locais terem declarado estado de emergência.
Os migrantes que se encontram nas zonas de fronteira entre os Estados Unidos e o México mantêm-se em abrigos precários, uma vez que as restrições continuam a impedir as pessoas de requerer asilo em território norte-americano.
O governo dos Estados Unidos pediu ao Supremo Tribunal para que os limites fossem levantados antes do Natal, um dia depois de o presidente do Supremo Tribunal, John Roberts, emitir uma ordem temporária para manter as restrições impostas ao abrigo das medidas impostas pela crise sanitária.
Antes de John Roberts ter emitido a ordem estava previsto que o prazo expirasse hoje.
De acordo com a AP, pouco depois da meia-noite, quando a Ordem 42 deveria ser levantada, a situação era "calma" nas margens do Rio Grande em El Paso, para onde a Guarda Nacional do Texas foi destacada.
Centenas de migrantes concentram-se junto às barreiras de arame farpado mas abandonaram o local depois de os funcionários norte-americanos terem pedido para se dirigirem para um portão onde deveriam ser feitos registos, "em pequenos grupos".
A primeiro-sargento Suzanne Ringle disse que uma mulher que entrou em trabalho de parto junto à margem do rio foi assistida pela guarda fronteiriça.
A mesma fonte disse que muitas crianças estão entre a "multidão".
Em Juarez, junto à fronteira com El Passo, centenas de migrantes mantêm-se nas filas esperando que as restrições sejam levantadas podendo, dessa forma, entrar nos Estados Unidos.
Por seu lado, em Tijuana, aproximadamente cinco mil migrantes estão distribuídos em 30 abrigos precários, sendo que muitos estão em quartos alugados e apartamentos da zona.
A situação na fronteira mantinha-se calma apesar de ter sido passada a mensagem de que não há alterações quando às ordens oficiais sobre as restrições de entrada nos Estados Unidos.
As barreiras construídas ao longo da fronteira com San Diego fazem da área uma zona perigosa para a passagem ilegal da fronteira.
Sob as ordens restritivas, os funcionários expulsaram milhares de requerentes de asilo e já recusaram a maioria das pessoas que pediram asilo na fronteira.
O argumento legal tem sido as medidas de propagação do covid-19 ao abrigo de uma regra de saúde pública chamada Ordem 42.
Mesmo assim, a lei norte-americana assim como perante o direito internacional garante o direito de pedido de asilo por parte dos requerentes.
Neste momento, encontram-se mais de 23 mil agentes dos Estados Unidos ao longo da fronteira, de acordo com dados fornecidos pela Casa Branca.
Para a Administração Biden, segundo a Associated Press, a solução para o problema não pode ser o prolongamento indefinido das medidas sobre saúde pública (SARS CoV-2) tendo pedido que as restrições sejam alteradas pelo Supremo até ao próximo dia 27 de dezembro.
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